[칠정산내편/역일] 3. 몰일의 추산

원문 번역(고전번역원)

몰일(沒日)이 있는 항기(恒氣)의 분초를 놓고, 15를 곱한 후 기책(氣策)에서 이 값을 뺀다. (항기의 분초가 몰한(沒限)보다 크면 몰일이 있는 항기이다. 뺀 나머지를 기영(氣盈)으로 나눈 몫이 일수(日數)이고, 일수를 항기일(恒氣日)에 더한 날을 몰일이라고 한다.)

해설

1. (1)로부터 천정동지를 비롯한 항기일을 계산하였습니다. 이 항기일은 1년의 길이를 단지 24등분하여 결정한 것으로, 평균절기일이 됩니다. 이제 절기과 절기일을 구분하여 생각해 봅시다. 절기일은 실제 달력에 표시된 절기일의 자정을, 절기는 (1)에서 기책을 연속해서 더해 계산한 소수부(분, 초)를 포함하는 값이라고 합시다. 달력에 기록되는 '절기일' 만을 보면, 일반적으로 24절기는 15일마다 돌아옵니다. 하지만 '절기'는 태양의 공전주기를 24등분한 것을 가지고 계산하므로 15일보다 조금 큰 값으로 돌아오게 되며, 이것이 바로 기책입니다. 그러면 절기와 절기일은 하루마다 아래와 같은 어긋남이 생깁니다. 다음 식에서 기책에서 15를 뺀 값을 '기영'이라고 정의합니다.

   $$어긋나는\ 정도_일=\frac{(기책-15)_일}{15}≡\frac{기영_일}{15}$$

   이 어긋남은 하루마다 누적되어 해당 절기로부터 N일이 지난 이후 결국 1일보다 커지게 된다고 합시다. 해당 절기부터 나머지가 모여 1일이 된 N일이 지난 날을 몰일이라고 합니다. 또한 그런 날이 해당 절기와 다음 절기 사이에 돌아오게 되는 절기를 몰일이 존재하는 절기라는 뜻의 유몰지기라고 합니다. 이런 날이 중간에 들어오면 다음 절기는 16일이 지난 후 돌아오게 됩니다.

2. 이제 이 정의에 의해 몰일을 추산하는 과정을 유도합니다. 유몰지기 미만 분, 초에 N일이 지났을 때 어긋나는 정도를 곱해서 더한 값이 1보다 커지는 날을 N일째라고 합시다.

   $$1+\frac{기영_일}{15}>유몰지기\ 분\ 초_일+N×\frac{기영_일}{15}>1$$

   위 식에서 좌변, 우변의 1을 15/15로 보고, 분자의 15를 (기책-기영)으로 보면, 아래 식을 얻습니다.

   $$\frac{(기책-기영)_일}{15}+\frac{기영_일}{15}>유몰지기\ 분\ 초_일+N×\frac{기영_일}{15}>\frac{(기책-기영)_일}{15}$$

   위 식에 15를 곱한 뒤 조금 정리하면 다음과 같습니다.

   $$(기책+기영)_일>유몰지기\ 분\ 초_일+(N+1)×기영_일>기책_일$$

   이것을 더 간단하게 정리하면,

   $$-N×기영_일>15×유몰지기\ 분\ 초_일-기책_일>-(N+1)×기영_일$$

   $$N<\frac{기책_일-15×유몰지기\ 분\ 초_일}{기영_일}<N+1$$

   이 식으로부터, (기책-15×유몰지기 분초)/기영 값이 N보다 크고 N+1보다 작는 것을 알 수 있습니다. 이 값은 실제로 몰일을 구할 때 항기일(평균절기일)에 더하기 위해 사용하는 값입니다. N이 정수이므로, 이 값은 N을 정수부로 갖고, 1 미만의 값을 소수부로 갖는 값임이 증명됩니다. 따라서 절기에 N을 더한 값이 몰일입니다.

3. 몰한은 해당 절기가 유몰지기가 되는 한계입니다. 최대 16일 후 다음 절기가 돌아오므로, 위 식의 (기책-15×유몰지기 분초)/기영 값은 16을 넘을 수 없습니다. 그래서 다음 조건을 가지고 몰한을 계산합니다.

   $$\frac{기책_일-15×유몰지기\ 분\ 초_일}{기영_일}=16$$

   기책=15+기영 이므로, 위 식을 정리하면,

   $$15+기영_일-16×기영_일=15×유몰지기_일$$

   $$유몰지기\ 분\ 초_일=1-기영_일∽0.7815_일=몰한_일$$

   이로써 유몰지기의 한계 값을 계산할 수 있으며, 이 값을 몰한으로 정의합니다. 따라서 항기일 일하분이 몰한보다 작아지면 그 절기는 유몰지기가 아니게 된다.