[칠정산내편/역일] 4. 멸일의 추산

원문 번역(고전번역원)

멸일(滅日)이 있는 경삭(經朔)의 분초를 놓고 30을 곱한다. (경삭의 분초가 삭허(朔虛)보다 작으면 멸일이 있는 경삭이다.) 이 값을 삭허로 나눈 몫이 일수(日數)이고, 일수를 경삭일에 더한 날을 멸일이라고 한다.

해설

1. 역에는 삭에 대한 여러 가지 용어가 있습니다. 경삭은 달의 타원 운동을 고려하지 않고, 삭망월의 평균 길이를 바탕으로 구한 이상적인 달의 위치를 말합니다. 평삭은 한달의 평균 날수를 맞추어 삭, 즉 초하루를 나타내는 것입니다. 정삭은 달의 실제 운동으로부터 구한 삭입니다.

2. 멸일의 정의는, 평삭일과 정삭일이 일치하는 날입니다. 이는 1삭망월의 길이를 삭을 기점으로 30등분했을 때, 그 등분점이 하루 사이에 두 번 들어 있는 날이라고 생각할 수 있습니다. 이러한 멸일의 다른 정의를 바탕으로 멸일을 추산하는 방법을 유도합니다. 또한 멸일이 해당 달과 다음 달 초하루 사이에 돌아오게 되는 삭을, 멸일이 존재하는 달의 삭이라는 뜻의 '유멸지삭' 이라고 합니다.

3. 앞에서 각 달의 초하루, 혹은 경삭을 추산할 수 있었습니다. 그리고 하루가 지남에 따라 이 유멸지삭의 분초에 1삭망월인 삭실을 30등분한 값을 계속해서 더해 갑니다. 이 때, 구하고자 하는 멸일이 지나기 전에는 한 번 이 계산을 할 때마다 무조건 결과값이 1을 넘어가기 때문에 하루가 지날 때마다 1을 빼야 합니다. M일이 지나면 이 값은 유멸지삭의 분초에 삭실을 30등분한 값을 M번 더한 값에서 M만큼의 정수를 감한 값이 됩니다. 그리고 만약 경삭일에 M을 더한 것이 멸일이라면, 이 값에 삭실을 30등분한 값을 더해도 1보다 작게 됩니다. (등분점이 하루 사이에 두 번 들어 있기 때문입니다.) 이를 부등식으로 표현할 수 있습니다.

   $$유멸지삭\ 분\ 초_일+M×\frac{삭실_일}{30}-M<1-\frac{삭실_일}{30}$$

   그런데, 위 식의 좌변은 절대 0보다 작을 수 없으므로, 이 부등식은 아래와 같이 적는 것이 좋겠습니다.

   $$0<유멸지삭\ 분\ 초_일+M×\frac{삭실_일}{30}-M<1-\frac{삭실_일}{30}$$

   식의 각 항에 30을 곱합니다.

   $$0<30×유멸지삭\ 분\ 초_일+M×삭실_일-30M<30-삭실_일$$

   이 때, 30으로부터 삭실을 감한 값인 (30-삭실)을 A로 치환합니다.

   $$0<30×유멸지삭\ 분\ 초_일 -MA<A$$

   이제 위 식을 M에 대해 정리하기 위해, 식 전체에 (MA)를 더한 후, A로 나눈 다음 정리합니다.

   $$M<30×\frac{유멸지삭\ 분\ 초_일}{A_일}<M+1$$

   위 식으로부터, 30x유멸지삭/A 값은 M보다 크고 M+1보다 작다는 것을 알 수 있습니다. 이 값은 멸일을 추산할 때 경삭일과 더하기 위해 사용하는 값입니다. M은 정수이므로, 이 값은 M을 정수부로 갖고, 어떤 값을 소수부로 갖는 값입니다. 따라서 경삭일에 M을 더한 값이 멸일입니다.

4. 삭허는 경삭이 유멸지삭이 되는 경삭 미만 분 초의 한계입니다. 최대 30일 후 다음 달 초하루가 돌아오므로, 위 식의 30x유멸지삭/A 값은 30을 넘을 수 없습니다. 따라서 다음과 같이 유멸지삭의 한계 값을 계산할 수 있습니다.

   $$30×\frac{유멸지삭\ 분\ 초_일}{A_일}=30$$

5. 유멸지삭의 한계값은,

   $$유멸지삭\ 분\ 초_일=A_일=(30-삭실)_일≡삭허_일$$

   따라서 앞에서 A로 치환했던 (30-삭실)을 삭허라고 하면, 유멸지삭의 분초가 삭허 미만이 되는 경우 멸일이 있다고 할 수 있습니다. 이제 M을 구하는 식을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 이는 멸일을 추산하기 위해 사용하고 있는 계산과 같은 방법입니다.

   $$M<30×\frac{유멸지삭\ 분\ 초_일}{삭허_일}<M+1$$